從理性看「不可能定理」

14世紀英國邏輯學家奧卡姆（William of Ockham/Occam，約1285－1349）曾在《箴言書注》中說過：「不要浪費較多東西去做用較少的東西同樣可以做好的事情。」後來人們叫這做奧卡姆剃刀定律（Occam's razor）。奧卡姆認為很多人為一些空洞累贅的事物爭論不休，因此他主張只承認確實存在的東西。奧卡姆令科學、哲學與神學分開，不混為一談，後來更影響了歐洲的文藝復興。

我曾經問過一家大學經濟系的朋友，我說你們經濟系的學術研究如何，他說他們同事發表的論文都用上很高深的數學。外行的人可能會認同，但想清楚，經濟系是研究經濟問題，而不是研究數學問題。如果數學了得，為什麼不去數學系，而要在經濟系混？其實說白了，數學只是工具，只有當你遇到一個經濟難題，又需要用上什麼門派的數學，數學才會有用武之地。法國著名哲學家、數學家笛卡爾(René Descartes，1596－1650）就曾經說過：「我只會做兩件事，一件是簡單的事，另一件是把複雜的事情變簡單！」

我想在此提出經濟研究的四大方向：

1.      在經濟思想上有新的看法，並對經濟理論有重大啟示；

2.      在經濟理論上有新的發展，或取代現有的理論，並在實際運作上有驗證支持；

3.      對經濟問題提出新的及有效的解決方法，並在實際運作上切實可行；

4.      在廣泛及重要的經濟理論上，提出更有效的驗證方法。

但我想指出一點，用數學去解決經濟問題只是頭腦簡單，可能反而令問題更加複雜。

這令我想起了羅馬尼亞裔美藉經濟學家阿羅（Kenneth J．Arrow，1921-)。阿羅是讀數學出身，但奇怪的是後來當了經濟學家，並於1972年(51歲）獲得諾貝爾經濟學獎，當時是最年輕的諾貝爾經濟學得獎者。

阿羅最著名的是提出不可能定理(Impossibility Theorem) 。他在1950年發表社會福利概念難題 A Difficulty in the Concept of Social Welfare (JPE)一文及溶入他的另一本著作《社會選擇與個人價值》(Social Choice and Individual Values, 1951)一書中，採用數學證明，整個群體的偏好次序，以至選舉方式是不可能通過投票決定的。阿羅因此質疑是否存在社會偏好函數。

阿羅提出了一個有趣的例子，假設群體中的每一個成員都能夠按自己的偏好對各種選擇進行排序，簡述如下。

假設社會群體A，B及C對三項政策綜合成以下三種排序：

A： 政策X > 政策Y   (政策X優於 政策Y)

B： 政策Y > 政策Z   (政策Y優於 政策Z)

C： 政策Z > 政策X   (政策Z優於 政策X)

根據邏輯學，若政策X優於政策Y，而政策Y優於政策Z，則政策X必優於政策Z。但這明顕與C所選擇的有矛盾。因此，阿羅得出了一個驚人的結論：用投票方式是不可能決定社會最優的偏好！不可能定理甚至運用數學的 Gibbard–Satterthwaite theorem去證明。

我起初覺得不可能定理是有點棘手的，但當我完成了「經濟學的理性假設」文章(見《經濟學新思維》)，再細心思考阿羅的不可能定理，發現不可能定理提出的其實是一個很簡單的問題。我試舉以下一例：

假設人們A，B及C對蘋果，橙及梨有以下三種偏好排序：

A： 蘋果 > 橙   (蘋果優於橙)

B： 橙 > 梨   (橙優於梨)

C： 梨 > 蘋果   (梨優於蘋果)

從這樣的偏好排序去看，你永遠無法決定社會整體偏好，因為人們的偏好並非依序排列(ordinal)。這種偏好因人而異，你喜歡蘋果，他喜歡梨，各有所好。這便是我之前所說的「廣義的理性」，這是沒有固定模式的，是無所不包的。阿羅說人們的選擇是基於品味(taste)和價值觀(values)，但我認為不單只是品味和價值觀，每個人心中都有一個小算盤，通常都是先以自己的利益做出發點。例如要選擇什麼區起骨灰龕場，一個是太平山附近，一個是慈雲山附近。你若家住或擁有物業在慈雲山，你自然選擇太平山，反對慈雲山興建。反之亦然。

以上的情況也可以叫做非線性排序(non-linear ordering)。現在試試用線性排序(linear ordering) 去看看如何。

A： $1000 > $500

B： $500 > $100

因此$1000優於$500，也必定優於$100。在此情況下，不可能定理提出的例子是不可能出現的。我想強調一點，我並非推翻不可能定理，我只是想說不要把簡單的問題複雜化。能用簡單的方法去處理複雜的問題才是高手。這亦說明了，要解決問題必須先認清問題的本質，再看用什麼方法去解決。舉一個例，就是有船翻沉了，也得先看是多大的船，再決定派一艘多少噸級的打撈船。道理就是這麼簡單。

再回到上面排序的問題，在社會集體偏好上看，一般是以多數(majority)為依歸。不可能定理提出的例子是可以通過投票得到各個選項的百分比，例如：

投政策X的有30%

投政策Y的有60%

投政策Z的有10%

(假設沒有廢票，全部加起來是100%)

則社會集體偏好應是投政策Y，投票率有60%的大多數。但若出現以下情況：

投政策X的有30%

投政策Y的有45%

投政策Z的有25%

投政策Y仍然比其他兩項高，但卻不是過半數的大多數。在公共選擇上仍然可以選Y，但要視乎社會接受的程度如何。最後，我想帶出兩個問題：

1.      社會偏好如何定義？大多數人的偏好是否就是社會偏好?

2.      社會偏好的是否一定對整體社會有利？

我在20年前提出一個中國歷史上著名的例子(見《經濟學新思維》)，宋高宗恐怕岳飛大敗金兵，把徽欽二宗救回威脅其皇位，於甚是利用秦檜殺害岳飛。有時某些選擇對於個人是理性，但在整體上則屬離經叛道。

將個人的偏好彙集成社會的偏好是否只是一項法則(Rule)，而非必然的結果(Law)，這些問題應留待鍥而不捨的經濟學家去進一步思考。